堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。
而堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。
同时，我们对堆中的结点从上之下，从左至右进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子：
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
而如果我们要将一组数据进行升序排序，就可以使用大顶堆，如果要将数据进行降序排序，则使用小顶堆。
节点与左右子节点索引的推导
我们都知道堆是二叉树结构，而二叉树的第一层节点是20，第二层节点数是21，第三层节点数是22……
所以，堆每一层的数据个数其实是个等比数列，该等比数列的总和是 20 + 21 + 22 + ….. + 2n。
根据等比数列的公式： 
可以求出和 Sn = 2n - 1，一个n层的堆最大有2n - 1个元素。
由于数组的下标是从0开始，因此第k层的最后一个节点下标为：2k-2，k层第一个节点为2k-1-1。
假如某父节点是第k层的第m个节点，那么其下标应该是2k-1 -2 + m。
而左子节点就是第k+1层第2 * (m-1) + 1个节点，其的下标应该是2k-2 + (m-1) * 2 + 1 = 2k+ (m-2) * 2 + 1。
而右子节点就是第k+1层第2 * (m-1) + 2个节点，其下标应该是2k-2 + (m-1) * 2 + 2 = 2k+ (m-2) * 2 + 2。
这里，如果第k层，第m个节点的下标，我们赋值给i = 2k-1 -2 + m，可以看出2i + 1，正好就等于2k+ (m-2) * 2 + 1，而2i+2就正好等于2k+ (m-2) * 2 + 2。
最后得出结论：第i个元素的左右子子节点分别是2i+1 和2i+2。
堆排序的基本思想和步骤
将待排序的序列（一般是数组）构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
一个堆结构中，最后一个非叶子节点的索引，可以用
array.count / 2 - 1来求出。
为什么最后一个父节点的下标是array.count /2 - 1呢？
在上面，我们论证了父节点与左右子节点的下标关系，而堆的结构其实是完全二叉树，也就是说去掉最后一层的叶子节点，其他节点所组成的二叉树，一定是满二叉树。所以最后一个叶子节点要么是左子节点，要么是右子节点。
而如果最后一个节点的是左子节点，那么假设其父节点所以是i，那么其下标是2i+1，而总的节点是array.count，我们知道下标是从0开始的，所以2i+1 = array.count -1。所以i的值就是(array.count - 2)/2，即array.count/2 -1。排除子节点所在一层的所有节点总数是2k-1，如果k大于0，则2k-1为奇数，而最后一层因为最后只有一个左子节点，所以最后一层也必定是奇数，两个奇数相加为偶数，所以array.count为偶数，能被2整除，因此array.count/2 -1就是最后一个父节点的下标。
如果最后一个节点是右子节点，假设其父节点是i，那么其下标是2i+2，而总的节点是array.count，所以2i+2 = array.count -1。所以i的值 array.count / 2 - 3/2。此时array.count 肯定就是奇数了，array.count 无法被 2整除。此时如果array.count /2 可以取小数位的话，array.count / 2 - 3/2也正好是整数，由于array.count /2 是向下取整，因此3/2也去掉一个0.5就是要取的父节点的下标拉，也就是array.count /2 - 1。
由此得证，最后一个父节点的下标为array.count /2 - 1。
堆排序的实现
根据上述的基本步骤和思想，我们来实现一下堆排序(注意这是错误的实现)：
/**
堆排序
@param randomNumbers 随机数组
@return 排序后的数组
*/
+ (NSMutableArray *)heapSort0:(NSMutableArray *)randomNumbers
{
if (randomNumbers.count <= 1) {
return randomNumbers;
}
if (![randomNumbers isKindOfClass:[NSMutableArray class]]) {
NSLog(@"参数类型错误，请使用NSMutableArray类型对象做入参");
return nil;
}
for (int i = 0; i < randomNumbers.count; i++) {
[self p_heapSort:randomNumbers count:randomNumbers.count - i];
}
return randomNumbers;
}
/// 构造大顶堆
+ (void)p_heapSort:(NSMutableArray *)randomNumbers count:(NSUInteger)currentCount
{
// 1.构造一个大顶堆
for (int i = (int)currentCount / 2 - 1; i >= 0; i --) {
NSUInteger son = 2 * i + 1;
// 1.1 判断是否存在右子节点，以及右子节点是否比左子节点大
if ((son + 1) < currentCount && [randomNumbers[son] intValue] < [randomNumbers[son + 1] intValue] ) {
son ++;
}
// 1.2 父节点与最大的子节点比较
if ([randomNumbers[i] intValue] < [randomNumbers[son] intValue]) {
[randomNumbers exchangeObjectAtIndex:i withObjectAtIndex:son];
}
}
// 2.交换第0个元素和最后一个元素
[randomNumbers exchangeObjectAtIndex:currentCount - 1 withObjectAtIndex:0];
}
很明显，这里的时间复杂度必然是O(n2)，实现的不太对。仔细分析后得出，只有第一次构造大顶堆是需要从 array.count /2 - 1 开始倒着循环至0，之后的每次构造大顶堆只需要在左半部分或者右半部分处理元素。
因为第一次构造大顶堆完成后，只交换了最后一个元素与根元素，所以这个新的根节点如果下层的话，只会下层到左子树或者右子树，所以再次调整大顶堆时，应该是每次折半处理的，所以应该是logN。
优化后的堆排序
/**
堆排序
@param randomNumbers 随机数组
@return 排序后的数组
*/
+ (NSMutableArray *)heapSort:(NSMutableArray *)randomNumbers
{
if (![randomNumbers isKindOfClass:[NSMutableArray class]]) {
NSLog(@"参数类型错误，请使用NSMutableArray类型对象做入参");
return nil;
}
if (randomNumbers.count <= 1) {
return randomNumbers;
}
int count = (int)randomNumbers.count;
// 1.构造一个大顶堆，第一次是从最后一个非叶子节点开始，从下至上，从左至右来构造
int lastParent = count / 2 - 1;
for (int i = lastParent; i >= 0; i--) {
[self sink:randomNumbers index:i count:count];
}
for (int j = count - 1; j > 0; j--) {
// 将堆顶元素与最后一个元素互换位置
[randomNumbers exchangeObjectAtIndex:0 withObjectAtIndex:j];
// 对剩下的元素重新调整，构造成堆
[self sink:randomNumbers index:0 count:j];
}
return randomNumbers;
}
+ (void)sink:(NSMutableArray *)randomNumbers index:(int)index count:(int)count
{
NSNumber *temp = randomNumbers[index];
for (int k = index * 2 + 1; k < count; k = k * 2 + 1) {
// 先找出两个子节点中更大的那个节点
if (k + 1 < count && [randomNumbers[k] intValue] < [randomNumbers[k+1] intValue]) {
k++;
}
// 然后将更大的那个子节点与父节点进行比较，如果子节点大于父节点，则交换
if ([randomNumbers[k] intValue] > [temp intValue]) {
[randomNumbers exchangeObjectAtIndex:index withObjectAtIndex:k];
index = k;
} else {
break;
}
}
}
Have Fun!